Свойства окружности

Свойства окружностей,теорема о касательной и секущей, теорема о секущих, свойства касательной, свойства хорд, вписанные и описанные окружности

Свойства окружностей

1. Прямая может не пересекаться с окружностью ; иметь одну общую точку с окружностью - касательная; пересекать окружность в двух точках - секущая.
2. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC2 = MA•MB.

Теорема о секущих
Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной

1. Радиус, опущенный в точку касания перпендикулярен касательной к окружности.

2. Если провести из одной точки отрезки касательных к окружности, то они будут равны и составят равные углы с прямой, которая проходит через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, который соединяет две точки, лежащие на окружности, называется ее хордой. Хорда, которая проходит через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд

1. Диаметр/радиус, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе её дуги пополам. И наоборот: если диаметр/радиус делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

2. Противоположные дуги, отделенные параллельными хордами, равны.

3. Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведения отделенных ими отрезков равны: AM•MB = CM•MD.

Вписанные и описанные окружности

Окружность и треугольники

• Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

r = S/P,
где S — площадь треугольника, а полупериметр Р:
P=(a+b+c)/2

• центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

R =0.5*(a/sin α),
R =(abc)/(4S);
здесь a, b, c — стороны треугольника, α — угол, лежащий против стороны a, S — площадь треугольника;
• центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
• центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают тогда и только тогда, когда этот треугольник — правильный.

Окружность и четырехугольники

• около выпуклого четырехугольника можно описать окружность лишь тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

α +γ =β +φ = 180°;
• в четырехугольник можно вписать окружность только в том случае, когда у него равны суммы противоположных сторон:

a + c = b + d;
• около параллелограмма можно описать окружность лишь в том случае, когда он является прямоугольником;
• около трапеции можно описать окружность только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром, опущенным на боковую сторону;
• в параллелограмм можно вписать окружность только, если он является ромбом.

Источник: Матемика